2018年9月5日

平面的鑲嵌

作者: 

腾讯风暴魔域开服表 www.eutnv.icu 平面的鑲嵌

李文革

平面的鑲嵌是指用一種圖形或多種圖形無縫隙、無重疊地鋪滿平面。據說早在畢達哥拉斯時代就開始了對這一問題的研究?;Υ蟀娉踔惺Ы灘腦諂吣曇斷虜岬?8~92頁對這一問題進行了簡單研究。

一、用正多邊形鋪滿平面

1.用單一的正多邊形鋪滿平面

正n邊形的內角和為(n-2)180°,它的每個內角的度數為(n-2)180°/n。如果它能鋪滿平面,則存在正整數m,使m(n-2)180°/n=360°,即

m(n-2)=2n。

解得n=2+4/(m-2)。

由于n為正整數,因此m=3、4、6。這時n=6、4、3,即只有正三角形、正方形、正六邊形才能鋪滿平面。如圖1是用正六邊形鋪滿平面的情況。

圖1

2.用多種正多邊形鋪滿平面

對于給定的幾種正多邊形,它能否拼成一個平面圖形,是看它們的內角加在一起能否組成一個周角,而我們可以利用多邊形的內角和定理求出正多邊形的內角。

設圍繞某一點需要m塊正多邊形材料填充平面,則3≤m≤6。

求上述(1)~(4)四個方程的正整數解可得如下表所示的17種情況。

其中,第10、14、17種情況就是我們在“用單一的正多邊形鋪滿平面”中討論的三種情形,它表明只有正三角形、正方形、正六邊形能填充平面。第1、2、3、4、6、9種情況不能填充平面。剩下的情況都能填充平面。

第5種情況如圖2(1)所示;第7種情況如圖2(2)所示;第8種情況如圖2(3)所示;第11種情況如圖2(4)所示。

圖2

第12種情況如圖3(1)所示;第13種情況如圖3(2)所示;第15種情況如圖3(3)所示;第16種情況如圖3(4)所示。

圖3

二、用任意一種凸多邊形鋪滿平面

1.用任意三角形

用任意兩個相同的三角形均可以拼成一個平行四邊形。如圖4所示,平行四邊形顯然可以鋪滿平面。所以用任意的一種三角形均可以鋪滿平面。

圖4

2.用任意四邊形

如圖5所示,用任意一種四邊形均可鋪滿平面。

圖5

3.用任意五邊形

并非所有的五邊形都能鋪滿平面。如圖6所示,迄今為止人們已找到15種能鋪滿平面的五邊形。

圖6

2015年美國華盛頓大學數學家運用計算機程序,發現了如圖7所示的第15種可以實現無縫拼接的凸五邊形,它鋪滿平面的情形如圖8所示。

圖7

圖8

4.用任意六邊形

迄今為止人們僅僅找到為數很少的幾種能鋪滿平面的任意六邊形,其中的一種如圖9所示。

圖9

三、用不規則圖形鋪滿平面

1.用單一的不規則圖形鋪滿平面

如圖10就是用單一的不規則圖形鋪滿平面的情形。

圖10

2.用多種不規則圖形鋪滿平面

(本部分參見:吳振奎,吳旻. 數學中的美[M]. 上海教育出版社,2004:292-295)

20世紀70年代,英國物理學家彭羅斯發表了他關于平面鑲嵌的研究結果,他確定了如下三類瓷磚(下稱彭羅斯瓷磚):

如圖11,第一類兩種分別為風箏形和鏢形,它們是由同一個菱形剪出的。

圖11

如圖12,第二類是由邊長相同、胖瘦不一的兩種菱形組成的(有趣的是它們面積比恰為

圖12

如圖13,第三類則由四種圖形組成。

圖13

有趣的是這三類瓷磚皆與正五邊形(或五角星)有關:這些圖形中的角要么是108°(正五邊形內角),要么是72°(正五邊形外角),要么是它們的一半或倍數:36°、144°、216°…

又如第一類的風箏形與鏢形是由一個內角為72°的菱形依照五角星對角線長來分割而成的,即如圖14(1)、(2)中AE、DE對應相等或比值相等。

圖14

如圖15,用它們中的每一類皆可鋪滿平面,同時鋪設結構不具“平移對稱性”,也就是說從整體上看圖形不重復。

圖15

用第二、三類彭羅斯瓷磚可鋪砌成如圖16所示的圖形。

圖16

利用彭羅斯瓷磚進行鋪砌時,還可從鋪砌的圖形中,找出上述瓷磚自身的“克隆”,比如用第三類瓷磚的鋪砌中(圖17(1)所示)總可以找到它們的放大圖形(圖17(2)中粗線表示)。

圖17

聯系我們

  • 通訊地址:上海市中山北路3553號伸大廈14樓
  • 郵編:200062
  • 教材中心:021-60821765
  • 編輯部:021-60821715
  • 市場部:021-60821710
  • 傳真:021-60821766
  • Email:[email protected]
Top
We use cookies to improve our website. By continuing to use this website, you are giving consent to cookies being used. 腾讯风暴魔域开服表