2018年9月5日

有趣的幻方

作者: 

腾讯风暴魔域开服表 www.eutnv.icu 有趣的幻方

李文革

華東師大版初中數學教材在七年級上冊第8頁用一個“閱讀材料”簡單介紹了幻方?;梅絞且恢質в蝸?,如圖1左,它最早出現于我國公元前2200年的“洛書”。

圖1

“洛書”用數字表示就是如圖1右所示的幻方,它的行、列及兩條對角線上的數字和均相等,都等于15。

一、幻方是什么

幻方是一個方形,它每邊含有相同數目的格數,每邊的格數稱為它的階?!奧迨欏本褪且桓鋈諄梅?。如果是4行4列的方格組成的幻方,我們稱之為4階幻方,依次類推可以定義各階幻方?;梅降男?、列及兩條對角線上的數字和均相等,稱之為“幻和”。例如,如圖1右所示的三階幻方的幻和就是15。

不僅數學家研究幻方,物理學家、政治家也研究幻方。例如,美國政治家富蘭克林(B.Franklin)曾制作了如圖2所示的八階幻方。它的幻和是260,它有一些獨特的性質,如從16到10,再從23到17所成折線上八個數字之和也為260,且平行這種折線的諸折線上的八個數字之和也為260。

圖2

二、幻方的制作

制作幻方是一個古老的游戲,人們不分職業、種族、年齡,都對它樂此不疲。

1.根據數量關系制作幻方

我們先看如何制作一個三階幻方,討論下列問題:

在如圖3左所示的3×3的方格中填入1~9這9個數,使每行、每列及每條對角線上各數的和分別相等。

圖3

此問題中,每行、每列及每條對角線上各數的和是未知的。要解決此問題,首先必須求出這個相等的和。1~9這9個數的和為9/2(1+9)=45,而共有3行(列),所以每行(列)的和為45/3=15。

如圖3右,a~i分別代表數字1~9,r1、r2、r3分別表示相應行的和,c1、c2、c3分別表示相應列的和,d1、d2分別表示相應對角線的和。因為r2+ c2+ d1+ d2=4×15=60,而r2+ c2+ d1+ d2=(d+e+f)+(b+e+h)+(a+e+i)+(c+e+g)=3e+(a+b+c+d+e+f+g+h+i)=3e+45=60,因此e=5,即5應填在幻方的正中間的方格中。由此我們可以立刻得到a+i=g+c=b+h=d+f=15-5=10。

數字1不能填在幻方的角落位置。假設a=1,則i=9。因為2、3、4不能和1在同一行(列)(否則該行或列的和不可能為15),所以剩下的兩個位置(h和f所在的位置)要放3個數,這是不允許的,因此1不能填在幻方的角落位置。這樣1和9只能被填入某一行(列)的中間位置。

3不能和9在同一行(列),否則該行(列)的第3個數也應是3。

3和7也不能填在幻方的角落位置,否則1與7會在同一行(列),而1與7不能在同一行(列),因為這時該行(列)的另一個數也要是7。

由上面的分析,可以得到如圖4所示的8種答案:

圖4

2.奇數階幻方的制作

(1)三階幻方的制作

制作一個三階幻方,先作一個三階的方形,并且在每邊的中間向方形外多作一格(如圖5左)。然后,從上一格開始填數字,依著斜線順序填入,一斜行填好,再填下一斜行,行與行之間保留了一些空格(如圖5中)。最后,只要把凸在方形外之格中的數字,分別移到其對面中間的空格中,便構成了一個幻方(如圖5右)。

圖5

(2)五階幻方的制作

如圖6~7,制作五階幻方的方法與制作三階幻方的方法類似。

圖6

圖7

3.偶數階幻方的制作

(1)四階幻方的制作

如圖8左,作一內含16小格的方形,依次由左開始,每列順次填入數字1、2、3…16。然后,考慮兩對角線上的數字,以方形的中心為對稱中心,把對角線上的數字互相調換至對稱的位置,不在對角線上的數字不動(如圖8中)。于是,就制作成一個四階幻方(如圖8右)。

圖8

(2)八階幻方的制作

制作八階幻方,可先作出如圖9所示的方形及特別的斜線,由左上角開始,從左到右,每列依次填上數字,凡數字在斜線經過的格中都特別作了記號。在64格中填好數字后,再調換有記號的數字。調換的方法是以方形的中心點為中心對稱點,有記號的數字都要調換到對稱的位置。例如,1和64對調;10和55對調;11和54對調;5和60對調;等等。

圖9

三、具有特殊性質的幻方

1.具有特殊性質的三階幻方

任意一個三階幻方都滿足:各行(列)所組成的三位數的和及平方和,分別等于各行(列)逆序所組成的三位數的和及平方和。如圖10,有

816+357+492=618+753+294,

8162+3572+4922=6182+7532+2942;

834+159+672=438+951+276,

8342+1592+6722=4382+9512+2762。

圖10

如圖11,更神奇的是,若把幻方拼接,位于標識位置的各數字,由它們組成的三位數仍然具有上述性質。例如:

456+312+897=654+213+798,

4562+3122+8972=6542+2132+7982;

258+714+693=852+417+396,

2582+7142+6932=8522+4172+3962。

圖11

2.具有特殊性質的四階幻方

把如圖12左所示的四階幻方沿橫向或縱向卷起來再粘上(如圖12右),沿任一直線剪開后仍是一個四階幻方。

圖12

3.具有特殊性質的五階幻方

如圖13所示的五階幻方具有中心對稱性質,即與中心對稱的兩數之和均為26。

圖13

如圖14是一個由6個同樣的五階幻方拼接而成的五階幻方群。有趣的是,從中任取一塊5×5的方塊(如圖中虛線所框)都構成一個五階幻方。

圖14

4.具有特殊性質的八階幻方

日本幻方專家片桐善直制作了如圖15上所示的一種奇特的八階幻方,它是一個“間隔幻方”:相間地從大幻方中取出一些數,可以組成小的幻方。如圖15上所示,在八階幻方中,把用□圈出的數和用○圈出的數分別拿出來,可以得到兩個四階幻方(如圖15下)。片桐善直還發現:這種“間隔幻方”共有5760種之多。

圖15

5.具有特殊性質的九階幻方

我國宋代數學家楊輝在《續古摘奇算法》中給出了如圖16所示的九階幻方。

圖16

它有如下性質:

(1)以幻方中心41為中心對稱的任何位置上的兩數之和都為82;

(2)將幻方按如圖16中粗線分成9塊,可以得到9個三階幻方;

(3)如圖17左所示,若把上述9個三階幻方的每個幻方的“幻和”值寫在九宮格中,則可得到一個新的三階幻方,且幻方中的9個數構成首項為111、末項為135、公差為3的等差數列。如果將這些數按大小順序的序號寫在九宮格中,則可得到如圖17右所示的三階幻方。

圖17

(4)如圖18上所示,將幻方中的“米”字線上的數全部圈上,再從外向里分別用方框框上,則每個方框框出的8個數與中心數41可分別構成4個三階幻方(如圖18下)。

圖18

6.質數幻方

上述給出的幻方都是以1,2,3,…等數字作為幻方內的數,其實幻方內的數不一定由1開始,也不必每兩個相繼的數相差為1,關鍵是要滿足行、列及兩條對角線上的數字和均相等。如圖19所示的幻方中所有的數均為質數,我們分別稱之為三階、四階質數幻方。這兩個幻方中的數字尾數都相同,一個是9,一個是7。

圖19

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如圖20左是9個相繼質數組成的三階幻方;如圖20右是“孿生質數幻方”——幻方中的數皆為孿生質數。

圖20

有人還將16對孿生質數兩兩分開,分別構造了如圖21所示的兩個四階幻方——“雙孿生質數幻方”。

圖21

7.天然形成的幻方

從1/19 ~ 18/19這18個分數的小數循環節長度均為18。像圖22那樣把這18個循環節排成一個18×18的數字陣,剛好構成一個幻方——每行、每列和對角線上的數字之和均為81(嚴格地說它不是幻方,因為方陣中有相同的數字)。

圖22

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參考文獻

[1] 吳振奎,吳旻. 數學中的美[M]. 上海教育出版社,2004:185-199.

[2] 歐陽絳. 數學方法溯源[M]. 大連理工大學出版社,2008:35-40.

[3] 顧森. 思考的樂趣:Matrix67數學筆記[M]. 北京:人民郵電出版社,2012:59.

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