2018年8月2日

跟著“對稱”感受什么是數學

作者: 

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李文革

我們試圖從“對稱”這一直觀概念出發,層層深入,逐步揭示“對稱”的本質,并通過數學抽象,提煉具有“對稱結構”的一類事物的共同特點,從中感受數學的真諦。

一、豐富多彩的對稱

在日常生活中我們所理解的“對稱”一般是指左右對稱和上下對稱,如圖1所示。

圖1

大千世界的對稱是豐富多彩的。如圖2也給人“對稱”的印象。

圖2

文學中也有“對稱”。例如,北京有一個商號叫“天然居”,掛有“客上天然居,居然天上客”的“回文”牌匾。體育比賽中的循環賽制也含有“對稱”的成分。世界杯足球賽決賽階段是先分組進行循環賽,決出“16強”后再進行淘汰賽。在小組賽階段,每一個隊與小組內所有的隊都要進行比賽,這對于各個隊是比較平等的、對稱的。而淘汰賽階段,當一個隊與某個確定的球隊比賽一場后,失敗即被淘汰,再沒有與其他隊比賽的機會了,這對于各個隊就不很對稱?!安歡猿啤庇兄誒斫狻岸猿啤?,我們通常所說的“信息不對稱”,就是指信息對雙方不是對等的。

初中數學教材在軸對稱(平面關于一直線的反射)、平移、旋轉三種變換的基礎上給出了軸對稱圖形和旋轉對稱圖形的概念:

把一個圖形沿某條直線對折,對折后的兩部分能完全重合,則稱這個圖形為軸對稱圖形。

繞著某個中心旋轉一定角度后能與自身重合的圖形就稱為旋轉對稱圖形。

這兩種對稱都是平面圖形的對稱。平面圖形的對稱還有其他情況。如圖3,想象該圖案是左右無限延伸的,把它沿水平方向平移一段距離時,得到的圖形與原來的圖形可以完全重合,這表明該圖形是平移對稱圖形。

圖3

如圖4,把該圖形沿一固定直線方向平移后再沿該直線作反射,得到的圖形與原來的圖形完全相同,我們稱該圖形為滑動反射對稱圖形。

圖4

圖3和圖4稱為帶飾,是我們生活中經常遇到的圖案。

以上這些豐富多彩的“對稱”有什么共性?“對稱”的本質是什么?如何用數學語言描述“對稱”?

二、對稱的本質

初中數學教材中的軸對稱圖形和旋轉對稱圖形概念還“運動”得不夠,下面我們從更徹底“運動”的角度看“對稱”。

如圖5,讓等腰三角形所在的平面關于直線l作反射,這時平面上的點都運動起來了,如果點P變到點P',點P'變到點P,則點P、P'關于直線l為軸對稱。這時等腰三角形上的點都運動起來了,如果等腰三角形上所有點的集合在反射前后仍然是原來的集合,則稱該等腰三角形關于直線l為軸對稱。在這一變化過程中,等腰三角形上的點都運動起來了,但整個等腰三角形卻沒有改變。

圖5

如圖6,把等邊三角形繞著點O逆時針旋轉120°時,平面上的點都在運動變化,該等邊三角形上的點也在運動變化,但等邊三角形在運動變化中整體未變,則稱該等邊三角形關于點O為旋轉對稱圖形。

圖6

可以證明,關于平面圖形的對稱,有且只有反射對稱、旋轉對稱、平移對稱、滑動反射對稱這四類運動變換及相應的四類對稱。這四類運動變換都保持圖形的形狀和大小不變,我們稱之為剛體運動變換,或稱保距變換:保持平面上任意兩點間的距離在運動前后不變。平面不動也可以看成是一種保距變換,它可以看成平面旋轉0°或平移a=0的保距變換,通常稱為恒等變換。

我們把所有使平面圖形T整體不變的保距變換放在一起構成一個集合,記著G(T),并稱G(T)為T的對稱集,其元素個數記著|G(T)|。例如正方形T',關于兩條對角線、兩條對邊中點的連線的反射下整體不變,繞其中心逆時針旋轉0°、90°、180°、270°時也整體不變,因此,G(T')的元素的個數為8,即|G(T')|=8。

研究平面圖形的對稱,就是要研究平面圖形作為整體在保距變換下的不變性,并據此判斷和衡量該平面圖形的對稱性。例如,對正三角形T"來說,易得|G(T")|=6<|G(T')|=8,說明正三角形的對稱性弱于正方形的對稱性。

三、用數學語言描述對稱

G(T)中的元素是所有保持平面圖形T整體不變的保距變換,包括反射、旋轉、平移、滑動反射四種,它們有兩個特點:都是平面上的保距變換;保持T整體不變。這四種保距變換還可以“相繼實施”,比如,先平移后反射,同一種變換也可以實施幾次。我們把這種保距變換的“相繼實施”稱為G(T)中的元素的一種“運算”,記著“*”,叫做“乘法”。例如“a*b”,表示先實施保距變換b,再實施保距變換a。這種乘法滿足以下四條規律:

(1)封閉律

若a∈G(T),b∈G(T),則 a*b∈G(T)。

(2)結合律

若a∈G(T),b∈G(T) ,c∈G(T),則(a*b)*c=a*(b*c)。

(3)幺元律

對任意的a∈G(T),存在i ∈G(T),使i*a=a*i=a。i實際上就是恒等變換。

(4)逆元律

對任意的a∈G(T),存在a'∈G(T),使a*a'=a'*a=i。a'稱為a的逆元。

以上表明,平面圖形T的對稱集G(T)是一個有結構的集合:G(T)的元素有運算,并且該運算滿足封閉律、結合律、幺元律、逆元律。具有滿足這種性質的結構的集合G(T)就構成了一個群,稱為平面圖形T的對稱變換群。

如圖7,正三角形的每個對稱變換都把它的三個頂點變為這三個頂點的一個排列,這樣我們可以用頂點的變化來描述正三角形的每個對稱變換。例如,如圖7右,正三角形繞中心逆時針旋轉120°,就相當于把3個數字“1、2、3”變為它的一個排列“2、3、1”。

圖7

去掉圖7右中的箭頭,我們可以寫出正三角形T"的對稱集G(T")的所有元素如下:

我們可以“計算”出G(T")中元素的運算結果,例如可以得出

有了群這個數學武器,關于它的種種性質都可以應用到各種“對稱”上去,從而深化了我們對“對稱”的認識。群論正是試圖提煉具有“對稱結構”的一類事物的共同特點,從而把握客觀世界某一方面的本質。例如,有了群論,我們可以用統一的觀點看待各種幾何學。歐氏幾何就是研究在剛體運動變換群下圖形的不變性質;仿射幾何就是研究在仿射變換下圖形的不變性質;射影幾何就是研究在射影變換下圖形的不變性質。這使我們深切感受到:數學是關于模式和結構的科學!

四、數學“來源于實踐又應用于實踐”

前面我們提到的帶飾,就是平移對稱或滑動反射對稱的圖形。如圖8是帶飾的一些例子。

圖8

帶飾的對稱性群稱為“帶飾群”。不同的帶飾可以有本質上相同的對稱性,從而有相同的帶飾群。也就是說,帶飾圖案可能千差萬別,但在“對稱結構”上可能是相同的。用“群”的知識可以證明:帶飾群只有7個,其“對稱結構”示意圖如圖9所示。

圖9

面飾是在兩個相交方向上都是平移對稱或滑動反射對稱的圖形。如圖10是面飾的一些例子。

圖10

類似地,面飾的對稱性群稱為“面飾群”。利用“群”的知識可以證明:面飾群只有17個,其“對稱結構”示意圖如圖11所示。

圖11

這樣,在進行壁紙設計時,只需要17個計算機程序,就可以設計出所有的壁紙來,而需要調整的只是“面飾單元”(如圖12所示)。

圖12

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參考文獻

顧沛. 對稱與群[M]. 北京:高等教育出版社,2013.

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