2018年7月26日

勾股定理的證明、推廣及教學

作者: 

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李文革

勾股定理在數學發展史上的重要地位使其成為初中數學教育中開展探究活動、滲透數學文化的重要素材。勾股定理對培養學生的幾何直觀、推理能力和應用意識等數學核心素養具有重要作用。勾股定理不僅有許多巧妙的證法,而且還有許多形式的推廣。

一、勾股定理的呈現形式及其證明

  1. 勾股定理的呈現形式

(1)初中數學教材中的呈現形式

勾股定理在初中數學教材中的呈現形式如下:

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

如圖1,在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C對應的邊長分別為a、b、c,則c2=a2+b2。

圖1

(2)《幾何原本》中的呈現形式

勾股定理在《幾何原本》中的呈現形式如下(第1卷第47個命題):

在直角三角形中,以兩條直角邊為邊長的兩個正方形的面積之和等于以斜邊為邊長的正方形的面積。

其標準圖形如圖2所示。

圖2

2.勾股定理的證明

千百年來人們對勾股定理給出了多達三四百種證明,它是證明方法最多的定理。這些證明既驗證了勾股定理,又大大豐富了研究問題的思想和技巧。中國古代學者趙爽、劉徽、梅文鼎、李潢、李銳、項名達、李善蘭、華蘅芳等人都給出過勾股定理的證明;意大利文藝復興時期的著名畫家、雕刻家、建筑師達·芬奇也給出過勾股定理的證明;美國第20任總統茄菲爾德也給出過勾股定理的證明……在數百種證明方法中,有的十分精彩,引人深思;有的十分簡潔,耐人尋味;有的因為證明者身份的特殊而非常有名。下面舉出幾種證明方法以示說明。

(1)利用“相似三角形”證明

圖3

(2)通過作內切圓證明

如圖4,在Rt△ABC內作內切圓,設其半徑為r,則

圖4

(參見蔡宗熹. 千古第一定理——勾股定理[M]. 北京:高等教育出版社,2013)

二、勾股定理的二維和三維推廣

1.二維推廣

在用相似證明勾股定理時,根據“相似三角形面積的比等于相似比的平方”可以更簡單地得到證明。

圖5

受上述證明啟發,我們可以發現一個很有趣的現象:

如圖6,沿著Rt△ABC的斜邊AB向上折疊,得到一個相同的三角形,其面積記著S1(就是Rt△ABC的面積)。再分別以AC、BC為斜邊,向Rt△ABC的外部作與Rt△ABC相似的兩個直角三角形(其面積分別記著S2、S3),再分別沿著AC、BC向內折疊,這兩個直角三角形剛好填滿Rt△ABC!即S1=S2+S3。

圖6

這表明:

分別以直角三角形的三邊為斜邊作三個相似的直角三角形(如上述作法),則斜邊所在的三角形的面積等于兩條直角邊所在的兩個三角形的面積之和。

這可以看成是《幾何原本》中勾股定理呈現形式的推廣。類似地,我們還可以做如下推廣:

推廣1:如圖7,在△ABC中,∠C=90°,分別以AB、BC、CA為邊向形外作正三角形,其面積依次為S1、S2、S3,則S1=S2+S3。

?

【證明】

因為正三角形都相似,

所以S1:S2:S3= AB2 :CB2:AC2。

而AC2+CB2 =AB2,

所以S1=S2+S3。

推廣2:以直角三角形的直角邊為邊長的兩個正n邊形的面積之和,等于以斜邊為邊長的正n邊形的面積。

因為正n邊形都相似,與上面的證明類似,可知結論成立。這樣我們可以得到更一般的推廣3:

推廣3:在分別以直角三角形三邊各為一邊的三個相似多邊形中,以兩條直角邊為一邊的兩個多邊形的面積之和等于以斜邊為一邊的多邊形的面積。

推廣4:如圖8,分別以Rt△ABC的三邊AB、BC、AC為直徑,向三角形外作三個半圓,則S1=S2+S3。

?

【證明】

半圓都相似,這樣我們可以得到更一般的推廣5:

推廣5:在分別以直角三角形三邊各為一邊的三個相似圖形中,以兩條直角邊為一邊的兩個圖形的面積之和等于以斜邊為一邊的圖形的面積。

我們還可以把勾股定理推廣到任意的三角形,得出余弦定理:

在△ABC中,∠A、∠B和∠C的對邊分別為a、b、c,則

a2=b2+c2-2bccosA,

b2=c2+a2-2cacosB,

c2=a2+b2-2abcosC。

證明:如圖9,設△ABC中,∠A為銳角,作CD⊥AB于點D,則據勾股定理有

a2-b2=(CD2+BD2)-(CD2+AD2)

=BD2-AD2

=(BD+AD)(BD-AD)

=c(c-2AD)

=c2-2cAD

=c2-2bccosA,

所以a2=b2+c2-2bccosA。

當A為鈍角時(此時cosA<0),同理可證上述等式也成立。

其他兩式可同理證明。

圖9

2.三維推廣

勾股定理和余弦定理分別可以推廣至三維空間的情形。

三維空間的勾股定理:如圖10,在直三棱錐D-ABC(D-ABC系直三面角)中,設S1、S2、S3、S4分別為△ABD、△BDC、△ADC和△ABC的面積,則S42=S12+S22+S32。

圖10

三維空間的余弦定理:如圖11,在三棱錐A-BCD中,設S1、S2、S3、S4分別為△ADC、△ADB、△BDC、和△ABC的面積,又二面角B-AD-C=α,A-BD-C=β,A-DC-B=γ,則

S42=S12+S22+S32-2 S1S2cosα-2 S2S3cosβ-2 S1S3cosγ。

圖11

三、勾股定理與費馬大定理

勾股定理用方程式表示,就是:

x2+y2=z2。

滿足這個不定方程的正整數解有無窮多個。

大約1637年左右,法國學者費馬在研究丟番圖《算術》一書的第2卷時,被畢達哥拉斯三元數組的種類和數量之多吸引住了。他進一步考慮:如果方程x2+y2=z2中未知數的冪次不是2而是3,這時方程還有正整數解嗎?如果未知數的冪次是4呢?一般地,不定方程

xn+yn=zn(n>2)有沒有正整數解呢?

費馬認為:方程xn+yn=zn(n>2)沒有正整數解。

這就是著名的費馬大定理。

自從這一論斷公諸于世后,一代代數學家以各種不同的方法嘗試證明費馬大定理,但都沒有成功。在1637~1840年的200年間,人們只證明了當n為3、4、5、7這些值時費馬大定理成立。

人們注意到兩個簡單的事實:

(1)如果當n=m時,方程沒有正整數解,則當n=km(k為正整數)時也沒有正整數解。

(2)只需考慮n為大于2的奇素數和n=4的情形。

1840~1850年間,高斯的學生、德國數學家庫默爾用他創立的理想數理論對一批指數n證明了費馬大定理:對于100以內除了37、59、67之外的所有奇素數p費馬大定理成立。

此后,數學家們將奇素數p的取值逐步改進,借助計算機,截止1993年已經證明了當奇素數p<400萬時,費馬大定理成立。繼續沿著這樣一條路走下去,雖然可以進一步改進奇素數p的取值,但永遠也不可能徹底解決問題。必須開辟一條新路,才有可能達到勝利的彼岸。

1922年,英國數學家莫德爾提出了莫德爾猜想。按照莫德爾猜想,方程xn+yn=1(n≥4)至多有有限多個有理數解。但由方程xn+yn=zn的任意一組非零整數解都可以導出方程xn+yn=1的一組有理數解,因此,只要能夠證明莫德爾猜想,就可以斷言:如果xn+yn=zn(n≥4)有非零整數解(無公因子)的話,它至多只能是有限多個。1983年,29歲的德國數學家法爾廷斯證明了莫德爾猜想,并因此獲得1986年的菲爾茲獎。

與從費馬到法爾廷斯等前人不同的是,最后攻克頂峰的武器,綜合利用了現代數學許多分支的成就,特別是1950年以來算術代數幾何領域中關于橢圓曲線的深刻結果。

1995年5月《數學年刊》刊出了英國數學家懷爾斯的“模橢圓曲線與費馬大定理”和泰勒與懷爾斯共同撰寫的“某些Hecke代數的環論性質”的論文,從而宣告困擾人們三個世紀之久的費馬大定理得到徹底解決。1996年3月,懷爾斯獲得沃爾夫獎,成為獲此殊榮的最年輕學者。

從費馬大定理的證明過程我們可以看出:數學每前進一步,都是一代又一代數學家接續奮斗的結果。

(參見周明儒. 費馬大定理的證明與啟示[M]. 北京:高等教育出版社,2007)

四、勾股定理的教學

綜上,我們可以將關于勾股定理的推廣歸納為如圖12所示。

圖12

(參見吳振奎,吳旻. 數學的創造[M]. 上海:上海教育出版社,2006)

勾股定理的教學僅僅讓學生知道結論并會套用是遠遠不夠的,應讓學生通過勾股定理的學習更好地掌握數學思想方法、激發學習興趣、培養探索精神、經受歷史的熏陶。

勾股定理蘊含著豐富的文化元素。教學中應通過介紹古代中國對勾股定理的發現、證明和使用的貢獻,激發學生的民族自豪感。勾股定理曾先后在不同地區或國家被不同民族所發現,往往成為一種標志性的文化事件而載入這些地區或國家的文明史。為了促使學生更好地從多元文化視角看待數學,在教學中可以適當介紹勾股定理歷史的國外素材。在歷史上,不同國家不同行業的人士都研究過勾股定理的證明,這些人士包括數學家、藝術家、政治家等。教學中應適當增加論證思路的種類,豐富學生關于勾股定理論證思路的數學知識,同時將有關人士的證明方法納入教學中,也可以為學生樹立數學學習的榜樣。

在勾股定理的教學中,要把握勾股定理在整個數學大廈中的地位和作用,關注勾股定理這一內容與相關數學知識之間縱向及橫向的邏輯關系,把勾股定理的教學貫穿于整個初中數學教學的全過程,內容的展開遵循循序漸進和螺旋上升的原則,使勾股定理的教學成為一個統領數學知識的有機的整體,適時地將數學探究活動、數學文化融入課程內容,整體設計習題等課程資源。

在教學中通過設計探究活動,引導學生發現勾股定理并探究勾股定理的證明,增強學生的“發現感”,強化學生的主體性和探究性,使勾股定理的教學成為再創造和再發現的教學,進而發展學生發現、提出問題與分析、解決問題的能力。

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