2018年7月12日

華東師大版《初中數學》教材如何教

作者: 

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李文革

華東師大版《初中數學》教材根據《義務教育數學課程標準(2011年版)》修訂后,既保留了原有特色,又增添了一些新的特色,如重視數學思想方法等。修改后的教材既得到了教育部審查專家的高度肯定,也得到了廣大一線教師的認可。為了全面貫徹《義務教育數學課程標準(2011年版)》的理念,深刻領會教材修訂意圖,特提出下列教學建議,供廣大教師參考。

一、全面把握義務教育數學課程目標

《義務教育數學課程標準(2011年版)》提出的數學課程目標有如下特點:(1)從“雙基”到“四基”。在我國傳統優勢“雙基”的基礎上,提出了“四基”:即基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗。(2)從“雙能”到“四能” 。對于問題解決能力方面,在原來分析和解決問題能力的基礎上,進一步提出培養學生發現和提出問題的能力。(3)確立義務教育階段數學教育的關鍵詞。確立了數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想,以及應用意識和創新意識等義務教育階段數學教育的關鍵詞。 (4)兼顧結果和過程目標。給出了兩類行為動詞:一類是描述結果目標的行為動詞,包括“了解、理解、掌握、運用”等術語;另一類是描述過程目標的行為動詞,包括“經歷、體驗、探索”等術語。

依據《義務教育數學課程標準(2011年版)》修訂的新教材呈現多維教學目標,概括地說,就是兩個方面:一是知識技能目標;二是發展性目標。即一堂課既要讓學生掌握有關的知識技能,同時又要促進學生的全方位發展。因此,評價一堂課,看它的教學目標是否明確,就是要看這兩個方面的目標是否明確,缺一不可。比如,講授“勾股定理”,不是僅要求學生記住結論,而還要引導學生去發現勾股定理的結論,并嘗試去證明結論,進而去運用結論解決實際問題。

二、努力落實“四基”

基礎知識、基本技能、基本思想方法形成三維“數學基礎??欏保?第一維度:基礎知識的積累過程; 第二維度:基本技能的演練過程; 第三維度:基本思想方法的形成過程。 在以上過程中獲得基本活動經驗。

全面貫徹“四基”要處理好知識與能力、基礎與發展的關系:知識不是最終目標,知識只是載體,在給學生傳授知識的過程中,應使學生獲得終身受用的素養。要正確處理“雙基”與發展的關系,“雙基”是發展的起點,是發展的平臺;發展是“雙基”的目標。美國西點軍校和英國的律師都要學數學,并不是指揮打仗和打官司要用多少數學知識,而是數學能給軍人和律師一種素養,如縝密的思考習慣和公正的品質。著名律師或運籌帷幄的將帥可能把具體的數學知識忘得一干二凈,但他們所受的數學訓練,一直會在他們的生存方式和思維方式中潛在地起著根本性的作用,并且受用終身。

三、努力落實“四能”:重視發現問題和提出問題能力訓練

《義務教育數學課程標準(2011年版)》對于問題解決能力方面,在原來分析和解決問題能力的基礎上,進一步提出培養學生發現和提出問題的能力。要通過創設數學問題情境,在問題解決的過程中,關注學生的數學思維策略、水平和思維品質,考查學生數學思維的靈活性、批判性和獨創性;考查學生能否根據具體情境提出問題,運用不同的方法分析和解決問題。例如,可以命制如下考查學生提出問題和解決問題能力的試題:

例1 請利用下列信息,先設計一個數學問題,然后再解答這個問題。

2002年全國群眾安全感抽樣調查共抽取全國31個省、自治區、直轄市年滿16周歲以上的101988人進行了問卷調查。在被調查者中,男性59760人、女性42228人。對問題“您最擔心在哪一個地方受到不法侵害?”的回答情況為:

回答“娛樂場所”的有5972人;回答“繁華街區”的有6000人,比2001年調查結果提高0.3個百分點;回答“商場或集貿市場”的占16.3%,同比提高0.5個百分點;回答“公共汽車或長途汽車”的占21.4%,同比持平;回答“住宅周圍”的占17.5%,同比降低1個百分點;回答“野外公路”的有18679人,同比降低0.7個百分點;回答“沒有可擔心的地方”的有14243人,占14%,同比提高1個百分點;回答“其他”的占0.8%,同比基本持平。

四、防止把數學能力技能化

長期以來,數學教學中存在的最大問題是把數學能力技能化。法則的表述往往是解題技巧的提煉,習慣把靈活的解題方法類型化、步驟化。數學教學已經把數學變成了按部就班的程序化的東西,數學學習變成了對機械程序的記憶、模仿和操練。 例如:

將列方程解應用題進行分類:工程問題、濃度問題、行程問題、調配問題等等,在列方程解應用題時,要求學生先看屬哪一種類型,再看這種類型有哪些等量關系,這樣就把豐富多彩的列方程解應用題變成了“套類型”的純粹技能訓練。

如圖1,把作角平分線純粹作為技能沒多大作用,但可以它為載體,培養學生的思維能力: 作一個角平分線就是要把這個角的大小分成兩半,從而得到就是作單位圓的弦的垂直平分線。

圖1

五、讓數學生動起來

數學教學要讓學生感受到數學很生動、很親切、很有用,就在他身邊,努力做到如下兩方面:

1.拉近數學與實際生活的距離

要避免單純考所謂的基礎知識和基本技能。如考解方程,不要總是考按部就班地解抽象的方程,可以先給學生一個實際問題,讓他有一個“數學化”的過程,最后歸結為解方程這一“雙基”??疾榛≈逗突炯寄?,一要注意問題情景豐富多彩;二要注意試題的呈現方式靈活多變。例如,考查“黃金分割”,可命制如下試題:

例2 【2010年廣東省佛山市中考試題】一般認為,如果一個人的肚臍以上的高度與肚臍以下的高度符合黃金分割,則這個人好看。如圖2,是一個參加空姐選拔的選手的身高情況,那么她應穿多高的鞋子才能好看?(精確到1cm)

參考數據:黃金分割比為 ≈ 2.236。'

【點評】本題是考查黃金分割這一知識點,但它不是直接考查黃金分割這一概念,而是創設了一個實際情境。這樣,拉近了數學與實際生活的距離,讓學生感到數學就在我們身邊,數學很有用。

2.創造性使用教材,使教材“本土化”,具有鮮明的地域特點

新教材的編寫體現了彈性,教師應根據所面對的學生的發展水平,選擇合適的內容進行教學。所選內容一要符合學生的認知特點;二要貼近學生的生活實際。不可能有一套教材適合所有地區的學生使用,教師應創造性地使用教材。常常有老師抱怨:農村的學生對新教材“水土不服”;新教材太難……實際上,他們都忘記了自己應根據學生的特點對教材進行“再創造”,使教材“本土化”,具有鮮明的地域特點?!敖探炭剖欏筆譴車摹敖淌榻場鋇奶卣?。當代教師不再是教材的被動執行者,而是課程資源開發的行動研究者。

六、展示數學概念的形成過程

1.注意展示數學概念的形成過程

由過程著手學習概念的好處是,概念在過程階段表現為一系列的固定步驟,具有操作性,相對直觀,容易仿效學會。從過程入門,經過操作來體會概念中信息的具體關系和相互影響,就打開了認識上升的道路。

概念學習應通過對學生已接觸到的恰當的實例進行組織整理、分析歸納、分類抽象來教,即須用實例來直觀地幫助學生形成定義,而不是教定義。數學概念的教學應當遵循人的一般認識規律,從具體到抽象。通過直接給出概念定義的方法引入概念往往會給學生的理解帶來困難。 例如:

如果直接給出絕對值的定義引入絕對值概念:“一個正數的絕對值是它本身,一個負數的絕對值是它的相反數,零的絕對值是零?!庇檬階穎硎揪褪?/p>

那么,由于這個概念的獲得過程與常識概念的形成過程次序相反,從而,使學生掌握這個概念出現困難。1

2.重視概念表象

學習中概念名稱的出現在記憶中喚起的不是概念的定義(即使概念有定義),而是概念表象,它可以是視覺表象、思維圖形,或是一個印象、一種經驗,例如一個模型、一條曲線、一個符號、一組變化動作。例如,講到“函數”時,腦海中最先跳出的可能是符號 ,或是某一個公式,也可能是一條曲線。例如,當教師說,“圓是平面上到定點等距的點的軌?!筆?,大多數學生一開始可能不會理解其意思。但當教師在黑板上畫一個圓時,大家會說:“原來就是這么一個東西?!幣虼?,進行概念教學時必須引導學生建立合適的概念表象。好的表象的全面把握和靈活運用,真正能體現學生的理解能力。

數學教師不同于數學家的一個方面在于,我們不是要創造新的概念,而是要創造理解。善于將數學概念的抽象定義的含義轉換成易于學生理解和運用的適當的心理表象,幫助學生靈活地掌握概念,這就是我們應做好的創造性的工作。1

3.淡化概念的純文字敘述

實際生活中的很多概念“只可意會,不可言傳”,是無法用文字語言表述的。例如“板凳”,如果我們要求把板凳搬過來,就連2、3歲的小孩也不會把“桌子”搬過來。但是,如果我們給“板凳”來一個文字表述界定,當我們要求把板凳搬過來時,就連我們的學生也會感到左右為難,不知是搬“桌子”,還是搬“板凳”。因此,數學教學中要淡化純文字敘述,減少學生的學習負擔。

例如,“平方差公式”,“( a+b)( a-b)=a2-b2 ”就是它的一個很好的表象,學生能夠抓住這個式子的特點并靈活運用,教學目標就達到了,如果還要來一個文字表述就沒有必要了。 再例如“最簡二次根式、分母有理化、同類二次根式”,教材都是描述性說明,只要求學生結合具體的例子理解。

七、重視變式訓練

不能盲目做題,進行大運動量操練,而要引導學生研究題目,找出題目之間的關系。為了提高解決問題的能力,要做到舉一反三、觸類旁通、事半功倍。要做到這點,最好的方式就是變式訓練。例如,可從下題出發進行變式訓練:

例3 一個多邊形的各內角都等于120°,它是幾邊形? [2

變式1:一個多邊形的內角和等于1260°,它是幾邊形?

變式2:若多邊形除去一個內角后,所有剩下內角的和等于1700°,求這個多邊形的邊數。

變式3:一個多邊形的每個外角都相等,一個內角與一個外角的度數之比為9:2,則這個多邊形的邊數為多少?

變式4:試證明一個多邊形最多只有三個內角是銳角。

變式5:只用下列圖形中的一種,能夠進行平面鑲嵌的是(? )。

(A)正十邊形? (B)正八邊形? (C)正六邊形? ( D)正五邊形

變式6:【2006年常州市課改實驗區中考題】如圖3,小亮從A點出發,沿直線前進10米后向左轉30°,再沿直線前進10米,又向左轉30°,……,照這樣走下去,他第一次回到出發地A點時,一共走了    米。

圖3

八、構建合理的數學訓練系統

1.恰當評價基礎知識和基本技能

我們過去的“雙基”是忽視發展的純粹的“雙基”,因此,往往是一堆靜態的所謂“知識點”。而“雙基”也應包含與發展密切相關的動態的過程性知識和技能。我們應該減少那種機械的、按部就班的、思考性不強或根本不需要思考的所謂“雙基”題,恰當評價基礎知識和基本技能。對于學生基礎知識和基本技能達成情況的評價,必須準確把握內容標準中的要求。把“雙基”放到實際背景和解決問題的過程中去考查。例如,可命制如下試題考查“絕對值”概念:

例4 【2011年陜西中考題】如圖4,檢測4個足球,其中超過標準質量的克數記為正數,不足標準質量的克數記為負數,從輕重的角度看,最接近標準的是(? )。

圖4

2.重視對數學思想方法的考查

對數學認知水平的評價,應考察學生是否真正理解數學基礎知識和基本技能背后所隱含的數學本質和思想方法。對基礎知識的評價不應僅僅滿足對某個概念或定理的陳述和辨別,評價應反映出學生對這一概念或定理學習的發展過程。對基本技能的考查應避免機械的技能程序化的運用,評價應反映出與這種技能相聯系的數學意義。例如,可以命制如下考查數學思想方法的試題:

例5 【2010年廣東省佛山市中考試題】一般來說,依據數學研究對象本質屬性的相同點和差異點,將數學對象分為不同種類的數學思想叫做“分類”的思想;將事物進行分類,然后對劃分的每一類分別進行研究和求解的方法叫做“分類討論”的方法。請依據分類的思想和分類討論的方法解決下列問題: 如圖5,在△ABC中,∠ACB >ABC。

(1)若∠BAC是銳角,請探索在直線AB上有多少個點D,能保證△ACD∽△ABC(不包括全等)?

(2)請對∠BAC進行恰當的分類,直接寫出每一類在直線AB上能保證△ACD∽△ABC(不包括全等)的點D的個數。

圖5

3.重視對思維過程的考查

教學評價應重視對學生解題過程的評價??己朔椒ú揮ξㄒ蛔⒅賾誚峁畝源?,而應反映更多的信息,包括學生的解題思路、基本觀念和態度等。只有深入地分析學生內在的思維過程,才能真正對學生的思維能力作出有效的評價。僅僅根據結果的對錯,很難了解學生的思維水平,甚至可以說,一個得到錯誤結果的學生的思維能力未必會比得到正確結果的學生的思維能力差。我們應高度重視對學生錯誤原因的深入分析,特別應當看到某些錯誤的“合理性”,錯誤結果的背后可能閃爍著智慧的火花,而不應采取簡單的否定態度。教師對例題的講解,重在思路分析,而不僅僅是給出正確的解答過程,教師要把自己的思維過程展現給學生,引導學生反思解題過程。 例如,在解題過程中可引導學生回答下列問題:

例6 描述自己找到解答題目路徑或沒有找到解答題目路徑的過程,并對自己的探索過程進行評析。

(1)我選擇的是怎樣的一條解題途徑。

(2)我為什么作出這樣的選擇?

(3)我現在已進行到了哪一階段?

(4)這一步的實施在整個解題過程中具有怎樣的地位?

(5)我目前所面臨的主要困難是什么?

(6)解題的前景如何?

4.要充實具有實踐性、應用性、探索性和開放性的習題

傳統的訓練系統主要是幫助學生掌握“雙基”的,新課標既要求掌握“雙基”,又要促進學生的發展,因此,在傳統的訓練系統中必須增加新的要素,重新構建新的訓練系統。為了有效地促進學生的發展,在新的訓練系統中,要充實具有實踐性、應用性、探索性和開放性的習題。這類習題一方面可以發展學生的思維水平,提高學生解決問題的能力,另一方面,拉近了數學與實際生活的距離,讓學生感到數學很親切,很有用,很生動,就在我們身邊,從而提升學生的數學素養。例如,考查“兩點之間,線段最短”可分別命制如下的傳統題和新題型:

例7 傳統題:填空:兩點之間,(??????? )最短;

??? ?新題型:請利用一個實際生活中的例子說明“兩點之間,線段最短”。

顯然,傳統題缺乏有效性,因為即使學生填對了,也并不代表他理解了“兩點之間,線段最大”這一結論,他很可能是死記硬背的。新題型拉近了數學與實際生活的距離,要解決它,靠死記硬背顯然不行,必須在理解的基礎上才能解答它,因此,它的有效性明顯增強。

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參考文獻

【1】李士锜. PME:數學教育心理【M】. 上海:華東師范大學出版社,2001.

【2】張繼海. 初中數學題根【M】. 上海:華東師范大學出版社,2014.

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(原文以標題“華東師大版《初中數學》教學建議”載于《數學教學》2017年第1期第1頁至第5頁)

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